Dominio y Rango de Función Racional

Ejercicio 1: Función Logarítmica

Determine el dominio de $f(x) = \ln(x^2 - 1)$.

Análisis: El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero: $$x^2 - 1 > 0$$

Factorización: $(x-1)(x+1) > 0$. Al analizar los signos, obtenemos: $$x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$$

Ejercicio 2: Derivada Básica

Calcule la derivada de $f(x) = \frac{1}{x^2}$ usando potencias.

Reescritura: $f(x) = x^{-2}$

Regla de la potencia: $f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3}$ $$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$$

Ejercicio 3: Integración Directa

Resuelva la integral definida: $\int_{1}^{2} 2x \, dx$.

Antiderivada: $\left[ x^2 \right]_{1}^{2}$

Teorema Fundamental: $(2^2) - (1^2) = 4 - 1 = 3$ $$\text{Resultado} = 3$$