Actividad 1 de Cálculo Diferencial

🎈 Razones de Cambio Relacionadas

Análisis Matemático: El Crecimiento de un Globo Esférico

¡Hola a todos! Hoy resolveremos un problema clásico de Cálculo Diferencial. Veremos cómo la variación del volumen de un cuerpo afecta directamente la rapidez con la que crecen sus dimensiones lineales mediante la Regla de la Cadena.

📍 Identificación de Datos

• Razón de cambio del volumen: $\frac{dV}{dt} = 4.5 \text{ cm}^3/\text{s}$
• Diámetro dado ($d$): $4 \text{ cm} \implies$ Radio ($r$): $2 \text{ cm}$
• Incógnita: Rapidez de aumento del radio $\left( \frac{dr}{dt} \right)$
• Modelo Matemático: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

🧠 Desarrollo Paso a Paso

1. Derivación Temporal (Regla de la Cadena)

Para encontrar la relación entre las razones de cambio, derivamos la fórmula del volumen respecto al tiempo ($t$):

$$\frac{d}{dt}(V) = \frac{d}{dt}\left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)$$

Aplicando la regla de la cadena, ya que $r$ es una función del tiempo $r(t)$:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot (3r^2) \cdot \frac{dr}{dt}$$

Simplificando la expresión:

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

2. Despeje de la Incógnita $\frac{dr}{dt}$

Aislamos el término que representa la rapidez de aumento del radio:

$$\frac{dr}{dt} = \frac{\frac{dV}{dt}}{4\pi r^2}$$

3. Sustitución de Valores

Sustituimos $\frac{dV}{dt} = 4.5$ y $r = 2$:

$$\frac{dr}{dt} = \frac{4.5}{4\pi (2)^2}$$ $$\frac{dr}{dt} = \frac{4.5}{16\pi}$$

Realizando el cálculo numérico ($\pi \approx 3.1416$):

$$\frac{dr}{dt} \approx \frac{4.5}{50.265}$$ $$\frac{dr}{dt} \approx 0.0895 \text{ cm/s}$$

✅ Resultado Final

Cuando el diámetro es de 4 cm, el radio del globo aumenta a una rapidez aproximada de:

$0.09 \text{ cm/s}$ (o $\frac{9}{32\pi} \text{ cm/s}$)

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📚 Referencias Bibliográficas & Recursos

• Stewart, J. (2017). Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. Cengage Learning.
• Larson, R., & Edwards, B. (2010). Cálculo 1: De una variable. McGraw-Hill.
• Khan Academy: Razones de cambio relacionadas en esferas.

Categoría: Matemáticas / Ingeniería | Autor: Mtro. Néstor Anthony Enríquez Arteaga