Actividad 1

Resolución Matemática: Dimensiones de una Habitación

En este ejercicio, abordaremos un problema de geometría plana desde la perspectiva del Cálculo Operacional, utilizando la Transformada de Laplace y la propiedad de la enésima derivada para validar las dimensiones de una superficie rectangular.

Problema: Una habitación rectangular tiene un largo de \(12\) metros y un área total de \(72\) metros cuadrados. ¿Cuál es la medida del ancho (\(w\)) de la habitación?

1. Planteamiento de la Función de Área

Definimos la función del área acumulada \(F(x)\) respecto al ancho \(x\). Si el largo \(L\) es constante, la tasa de cambio del área respecto al ancho es precisamente el largo:

$$F'(x) = L = 12$$

Establecemos la condición inicial: si el ancho es nulo, el área es nula:

$$F(0) = 0$$

2. Aplicación de la Transformada de la Derivada

Utilizamos la propiedad de la transformada de Laplace para la primera derivada (\(n=1\)):

$$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k} f^{(k)}(0)$$

Sustituyendo nuestra función de área:

$$\mathcal{L}\{F'(x)\} = s\mathcal{L}\{F(x)\} - F(0)$$

Como \(F'(x) = 12\), aplicamos la transformada de una constante:

$$\frac{12}{s} = sF(s) - 0 \implies F(s) = \frac{12}{s^2}$$

3. Antitransformada y Solución

Para regresar al dominio espacial, aplicamos la transformada inversa:

$$F(x) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{12}{s^2} \right\} = 12x$$

Dado que el área total es \(72 \text{ m}^2\), igualamos para hallar el ancho \(w\):

$$12w = 72 \implies w = \frac{72}{12} = 6$$

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Resultado: El ancho de la habitación es de 6 metros. Este procedimiento demuestra la consistencia de las leyes del cálculo integral aplicadas a la geometría euclidiana.