Actividad 1 - 2

Resolución Matemática Avanzada

Aplicación de la Transformada de la Enésima Derivada en Geometría

Enunciado del Problema

Una habitación rectangular posee un largo constante de \( 12 \text{ m} \) y un área total de \( 72 \text{ m}^2 \). Se requiere determinar la medida del ancho (\( w \)) empleando formalismo de transformadas operacionales.

1. Modelado de la Función

Sea \( A(x) \) la función que representa el área en términos del ancho \( x \). Sabemos que la derivada del área respecto al ancho es la longitud:

$$ A'(x) = 12 $$

Con la condición inicial en el origen: \( A(0) = 0 \).

2. Aplicación de la Transformada de la Enésima Derivada

Utilizamos el teorema de la transformada de Laplace para la derivada de orden \( n \):

$$ \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^n F(s) - \sum_{k=0}^{n-1} s^{n-1-k} f^{(k)}(0) $$

Para nuestra primera derivada (\( n=1 \)), la expresión se simplifica a:

$$ \mathcal{L}\{A'(x)\} = s \mathcal{L}\{A(x)\} - A(0) $$

Sustituyendo los valores conocidos y aplicando la transformada a la constante \( 12 \):

$$ \frac{12}{s} = s A(s) - 0 \implies A(s) = \frac{12}{s^2} $$

3. Retorno al Dominio del Espacio (Antitransformada)

Para hallar la función original \( A(x) \), aplicamos la transformada inversa de Laplace:

$$ A(x) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{12}{s^2} \right\} = 12x $$

4. Cálculo del Ancho Solicitado

Igualamos la función al área total proporcionada en el ejercicio (\( 72 \text{ m}^2 \)):

$$ 12w = 72 \implies w = \frac{72}{12} = 6 $$

Conclusión: El ancho de la habitación es de 6 metros. La consistencia entre el álgebra lineal y el cálculo de transformadas confirma la validez del modelo.