Transformada de Laplace: Cálculo de Ancho

Matemáticas Aplicadas: Transformadas de Laplace

Resolución de dimensiones geométricas mediante el cálculo operacional

📝 Ejercicio Propuesto

Una habitación rectangular tiene un largo de 12 metros y un área total de 72 metros cuadrados. ¿Cuál es la medida del ancho de la habitación usando la transformada de la enésima derivada de una función?

1. Modelado Matemático

Definimos el área acumulada \( A(x) \). La derivada del área respecto al ancho es la longitud constante:

$$A'(x) = 12, \quad \text{con } A(0) = 0$$

2. Transformada de la Derivada

Aplicamos el teorema de la derivada para \( n=1 \):

$$\mathcal{L}\{A'(x)\} = s A(s) - A(0)$$

Sustituyendo los valores del problema:

$$\frac{12}{s} = s A(s) \implies A(s) = \frac{12}{s^2}$$

3. Antitransformada y Resultado

Calculamos la inversa para hallar la función de dimensión:

$$A(x) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{12}{s^2} \right\} = 12x$$

Dado que el área total es 72:

$$12w = 72 \implies w = \frac{72}{12} = 6 \text{ metros}$$

Material desarrollado para la asignatura de Cálculo Diferencial. Facultad de Ingeniería.